Mathe - Formeln
 

2 D Flächen

3 D Körper

Das rechtwinklige Dreieck Der Quader
Das gleichseitige Dreieck Der Würfel
Die Raute Der Zylinder
Das Quadrat Der Kegel
Das Rechteck Die quadratische Pyramide
Das Trapez Der Tetraeder
Das Parallelogramm Der Kegelstumpf
Der Drache Die Kugel
Der Kreis Das dreieckige Prisma
Der Kreisring Das sechseckige Prisma
Der Kreisausschnitt Der quadratische Pyramidenstumpf
Das regelmäßige Sechseck Der regelm. dreieckige Pyramidenstumpf
  Der regelm. sechseckige Pyramidenstumpf

 

Mathematische Zeichen
Griechische Buchstaben
Maßeinheiten
Übungsbeispiele: Flächen und Volumsberechnungen

 

 

Mathe - Formeln – 2 D Flächen

 

Das rechtwinklige Dreieck

 

a = g - b

a = INV tan a / b

b = g - a

g = a + b

c = a / sina

c = Ö(a² + b²)

a = c * sina

a = Ö(c² - b²)

a = b * tana

b = Ö(c²- a²)

 

 

Das gleichseitige Dreieck

 

u = 3 * a

A = a²/ 4 *Ö3

h = a/ 2 *Ö3

a = u / 3

a = Ö((A * 4) / Ö3)

a = (h * 2) / Ö3

a = b = c!!

 

 

Die Raute

 

 

u = 4 * a

A = (e * f) / 2

A = a * h

h = A / a

e = Ö( 2a² - f²)

e = (A * 2) / f

a = u / 4

a = Ö((e² / 2) + (f² / 2))

a = A / h

 

 

Das Quadrat

u = 4 * a

 

A = a²

 

e = a * Ö 2

a = e / Ö2

a = ÖA

a = u / 4

 

 

Das Rechteck

 

A = a * b

 

u = 2a + 2b

 

e = Ö (a² * b²)

a = A / b

a = (u - 2b) / 2

a = Ö (e² - b²)

b = A / a

b = (u - 2a) / 2

b = Ö (e² - a²)

 

 

Das Trapez

a = u - b - c - d

a = m * 2 - c

b = u - a - c - d

b = u - m * 2 - d

c = u - a - b - d

c = m * 2 - a

d = u - a - b - c

d = u - m * 2 - b

m = (a + c) / 2

m = a / h

m = (u - b - d) / 2

u = a + b + c + d

u = m * 2 + b + d

 

h = a / m

h = a / ((a + c) / 2)

A = m * h

A = ((a + c) / 2) * h

 

 

Das Parallelogramm

 

A = a * h

A = b * h

u = 2 * (a + b )

h= A / b

h= A / a

b = U / 2 - a

b = A / h

a = U / 2 - b

a = A / h

  

Der Drache

a = (u / 2) -b

b = (u / 2) - a

e = (A * 2) / f

A = (e * f) / 2

f = (A * 2) / e

f =Öa² - (e / 2)² + Öb² - (e / 2)²

 

 

Der Kreis

 

 

u = 2 * p * r  A = p * r²  d = 2 * r r = d / 2

r = Ö(A / p)

r = u / (2 * p)

 

 

Der Kreisring

 

  

A = p * (r² - r²)

u = 2 * p * (r- r)

r= Ö ((A / p) + r²)

r= u / ( 2 * p) - r

r= Ö ((A / p) + r²)

r= U / ( 2 * p) - r

 

 

Der Kreisausschnitt

 

  

a = (A * 360) / (p * r²)

A = (b * r) / 2

b = (A * 2) / r

b = 2 * p * r * a / 360

r = (A * 2) / b

r =Ö(A * 360) / (p * a)

r = (b * 360) / (a * 2 * p)

 

 

Das regelmäßige Sechseck

  

  

u = 6 * a

A = 3 / 2 * a² * Ö3

A = 6 * (a² / 4 * Ö3)

h = a / 2 * Ö3

a = h * 2 / Ö3

a = Ö((a / 6) * 4) / Ö3

a = u / 6

 

 

 

Mathe - Formeln – 3D Körper

 

Der Quader

 

 

O = 2 (a * b + b * c + a * c)

V = a * b * c

b = ((O / 2) - a * c) / ( a + c)

b = V / (c * a)

b = Ö(e² - c² - a²)

c = ((O / 2) - a * b) / ( a + b)

c = V / (b * a)

c = Ö(e² - a² - b²)

e = Ö(a² + b² + c²)

a = ((O / 2) - b * c) / ( b + c)

a = V / (c * b)

a = Ö(e² - b² - c²)

 

 

Der Würfel

 

4

V = a³

e = a * Ö3

a = Ö(O / 6)

a = e / Ö3

a = ³ÖV = V hoch 1/3

 

 

Der Zylinder

 

 

A = r² * p

A = (O - M) / 2

V = p * r² * h

O = 2 * p * r *(r + h)

O = M + 2 * A

M = O - (2 * A)

r = Ö(V / (h * p))

r = Ö(A / p)

r = Ö(( O - M) / (2 * p))

h = (O / (2 * r * p)) - r

h = V / (r² * p)

 

 

Der Kegel

 

 

a = (r / s) * 360

h = Ö(s² - r²)

h = Ö(s² - r²)

h = V / ((p / 3) * r²)

O = p * r² + p * r * s

G = O - M

G = p * r²

s = M / (p * r)

s = (r * 360) / a

s = Ö(r² + h²)

s = (r / a) * 360

r = Ö(G / p)

r = ÖV / (h * (p / 3))

r = (a / s) / 360

r = Ö(s² - h²)

r = -(s / 2) + Ö((s / 2) + (O / p))

V= (p / 3) * r² * h

 

 

Die quadratische Pyramide

  

  

a =Ö ((3*V) / h)

a = 2Ö (hs ²- h²)

a = 2Ö (s² - hs²)

a =(M / hs) / 2

a =ÖG

a =Ö(O - M)

h = (V * 43) / a²

h = Ö (hs² - (a / 2)²)

hs = M / ( 2 * a )

hs = Ö (h² + ( a / 2 )²)

hs = Ö (s² - (a / 2 )²)

hs = (O - a²) / 2a

O =a² + 2a * hs

O = G + M

G = a²

G = O - M

s = Ö (hs² +( a / 2)²)

V= (1/3) * a² * h

V = (1 / 3) * G * h

 

 

a = Grundkante; h = Höhe über dem Mittelpunkt; hs = Seitenhöhe; O = Oberfläche

M= Mantel ( 4 Dreieck); G = Grundfläche; V = Volumen; s = Seitenkantenlänge;

 

Der Tetraeder

 

 

O = a² * Ö3

V = (a³ / 12) * Ö2

a = Ö(O / Ö3)

a = ³Ö( (V * 12) / Ö2)

d = u - a - b - c

d = u - m * 2 - b

 

 

Der Kegelstumpf

 

 

s =Ö (h² + ( r1 - r2)²)

s = M /(p *( r1 +r2))

A1 = p * r 1²

A2 = p * r2²

O = p * (r1²+r2²) + p * s * (r1 + r2)

O = M + A1 +A2

M = p * s *(r1 + r2)

r1 = (s² - h²)) + r2

r1 = (M / ( p * s)) - r2

r1 = Ö (A1 / p)

h = (V * 3) / ( p *(r1² + r1 * r2 + r2²)

h = Ö(s² - (r1 - r2)²)

 

 

Die Kugel

 

 

O = 4 * p * r²

V = (4 / 3) * p * r³

d = 2 * r

r = d / 2

r = Ö(O / (4 * p))

r = ³Ö( V / (4 / 3 * p))

 

 

Das dreieckige Prisma

 

M = U * h

M = 3 * a * h

M = O - 2 * A

O = M + 2 * A

O = 3ah + (2 * a² * Ö3) / 4

O = a ( 3h + ((aÖ3) / 2))

h = ( V * 4) / (a² * Ö3)

h = M / U

h = M / ( 3 * a)

h = V / A

h = (( O / a) - ((aÖ3) / 2) ) / 3

a = U / 3

a = (2 * hd) / Ö3

a = Ö (4 * (A / Ö3))

a = Ö (( 4 * V) / (Ö3 * h))

a = M / ( 3* h)

U = 3 * a

hd = (a / 2) * Ö3

A = ( a² / 4) * Ö3

A = ( O - M) / 2

A = V / h

V = A * h

V = (( a² * h) / 4) * Ö3

 

 

Das sechseckige Prisma

 

 

hd = (a / 2) *Ö3

U = 6 * a

h = V / A

h = M / U

h = M / ( 6 * a)

h = ( V * 2) / ( Ö3 * 3a²)

h = ((O / (3a)) - aÖ3) / 2

a = ( hd *2) / Ö3

a = Ö(((A / 6) * 4) / Ö3)

a = U / 6

a = M / ( 6 * h)

a = Ö( ( V * 2) / (Ö3 * 3 * h) )

V = A * h

V = ((3a² * h) / 2) * Ö3

M = 6 * a * h

M = U * h

M = O - 2A

 

A = (3a² / 2) * Ö3

A = 6 * (a² / 4) * Ö3

A = V / h

A = O - M / 2

O = M + 2 * A

O = 6 * a * h + ((2 * 3a² * Ö3) / 2)

O = 3 * a * (2h + aÖ3)

 

 

Der quadratische Pyramidenstumpf

 

 

h = (V / ( a1² + a1 * a2 + a2²)) * 3

h = Ö(s² - ((a1 - a2)² / 2))

h = Ö(hs² - ((a1 - a2)² / 4))

a2 = ÖA2

a2 = (Ö(2*(s² - h²)) - a1) * -1

a2 = (Ö(4 * (s² - hs²)) - a1) * -1

a2 = (Ö(4 * (hs² - h²)) - a1) * -1

a2 = M / (2 * hs) - a1

M = O - A1 - A2

M = 2 * hs * (a1 + a2)

V = ( h / 3) * (a1² + a1 * a2 + a2²)

s = Ö(h² + ((a1 - a2)² / 2))

s = Ö(hs² + ((a1 - a2)² / 4))

hs = Ö(h² +((a1 - a2)² / 4))

hs = (M / (a1 + a2)) / 2

hs = Ö(s² - ((a1 -a2)² / 4 ))

hs = (( O - a1² - a2²) / (a1 + a2)) / 2

a1 = Ö(4 * (hs² - h²)) + a2

a1 = Ö A1

a1 = Ö(2 * (s² - h²)) + a2

a1 = Ö( 4 * (s² - hs²)) + a2

a1 = M / (2 * hs) - a2

O = a1² + a2² + 2 * hs * (a1 + a2)

O = M + A1 + A2

A1 = a1²

A1 = O - M - A2

 

 

A2 = a2²

A2 = O - M - A1

 

 

Der regelm. dreieckige Pyramidenstumpf

 

 

h = ((V / ( a1² + a1 * a2 + a2²)) * 12 / Ö3)

h = Ö(s² - ((a1 - a2)² / 3))

h = Ö(hs² - ((a1 - a2)² / 12))

a2 = Ö(A2 * 4 / Ö3)

a2 = (Ö(3*(s² - h²)) - a1) * -1

a2 = (Ö(4 * (s² - hs²)) - a1) * -1

a2 = (Ö(12 * (hs² - h²)) - a1) * -1

a2 = (2 * M) / (3 * hs) - a1

V = ( h * Ö 3 / 12) * (a1² + a1 * a2 + a2²)

s = Ö(h² + ((a1 - a2)² / 3))

s = Ö(hs² + ((a1 - a2)² / 4))

O = ((a1² + a2²)* Ö3) / 4 + (3 * hs * (a1 + a2) / 2)

O = M + A1 + A2

a1 = Ö(12 * (hs² - h²)) + a2

a1 = Ö(A1 * 4 / Ö3)

a1 = Ö(3 * (s² - h²)) + a2

a1 = Ö( 4 * (s² - hs²)) + a2

a1 = (2 * M) / (3 * hs) - a2

hs = Ö(h² +((a1 - a2)² / 12))

hs = ((2 * M) / (a1 + a2)) / 3

hs = Ö(s² - ((a1 -a2)² / 4 ))

hs = (( O - (((a1² + a2²) * Ö3) / 4)) / ((a1 + a2) / 2)) / 3

 

 

 

Der regelm. sechseckige Pyramidenstumpf

 

 

h =(( V / (a1² + a1 * a2 + a2²)) * 2 / Ö3)

h = Ö(s² - (a1 - a2)²)

h = Ö(hs² - (( 3 * (a1 - a2)²) / 4))

a2 = Ö(A2 / ( 3 / 2 * Ö3))

a2 = M / (3 *hs) - a1

a2 = (Ö(s² - h²) - a1) * -1

a2 = (Ö( 4 * (s² - hs²)) - a1) * -1

a2 = (Ö((hs² - h²) * 4 / 3) - a1) * -1

V = (( h * Ö 3) / 2) * (a1² + a1 * a2 + a2²)

 

s = Ö(h² + (a1 - a2)²)

s = Ö(hs² + ((a1 - a2)² / 4))

O = ((3 * Ö3) / 2) * (a1² + a2²) + 3 * hs * (a1 + a2)

O = M + A1 + A2

a1 = Ö(A1 / ( 3 / 2 * Ö3))

a1 = M / (3 *hs) - a2

a1 = Ö(s² - h²) + a2

a1 = Ö( 4 * (s² - hs²)) + a2

a1 = (Ö((hs² - h²) * 4 / 3)) + a2

hs = Ö(h² + ((3 * (a1 - a2)²) / 4))

hs = Ö(s² - ((a1 -a2)² / 4 ))

hs = (M / 3) / ( a1 + a2)

hs = ( O -3 * Ö(3) / 2 * (a1² + a2²)) / 3 / (a1 + a2)

 

 

 

 

Mathematische Zeichen

 

=

gleich

Winkel

<

kleiner als

rechter Winkel(90°)

>

größer als

Natürliche Zahlen ohne Null

<

kleiner oder gleich

Ganze Zahlen

>

größer oder gleich

Natürliche Zahlen

»

ungefähr gleich, rund

AB

Gerade durch A u. B

 Ù
=

entspricht

__
AB

Strecke zwischen A u. B

¥

unendlich

Rationale Zahlen

||

parallel

Reelle Zahlen

^

rechtwinklig, senkrecht zu

@

kongurent

~

proportional, ähnlich

ungleich

 

 

 

 

 

  

Griechische Buchstaben

 

a

Alpha

o

Omikron

b

Beta

p

Pi

g

Gamma

t

Tau

d

Delta

u

Ypsilon

e

Epsilon

w

Omega

z

Zeta

x

Xi

h

Eta

y

Psi

l

Lambda

m

My

i

Jota

j

Phi

 

 

Maßeinheiten

 

Zeitmaße =

1 Jahr = 365 Tage
               1 Tag = 24 h
                            1 h = 60 min
                                      1 min = 60 s

Gewichtsmaße =

1 Mt = 1000 kt
                 1 kt = 1000 t
                                 1 t = 1000 kg
                                               1 kg = 1000 g
                                                              1 g = 1000 mg

Längenmaße =

1 km = 1000 m
                1 m = 10 dm
                           1 dm = 10 cm
                                       1 cm = 10 mm 

Flächenmaße =

1 km² = 100 ha
                 1 ha = 100 a
                               1 a = 100 m²
                                         1 m² = 100 dm² 
                                                        1 dm² = 100 cm²
                                                                       1 cm² = 100 mm²

Raummaße =

1 m³ = 1000 dm³
                  1 dm³ = 1000 cm³
                                    1 cm³ = 1000 mm³ 

Hohlmaße =

1 hl = 100 l
           1 l = 1000 ml                       1 dm³ = 1 l
                      1 ml = 1  cm³ 

 

 

Übungsbeispiele - Volumsberechnungen

 

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 Copyright © 2005 Hojager, Gerhard J. Hojas, Linz/Ebelsberg. Alle Rechte vorbehalten.